MATEMATIKA

Borka Marinković

Maj - mesec matematike 2019. / „Matematika sveta“

Kuća od hiljadu stopa

Kao i prethodnih godina, i ove je mesec maj u Srbiji bio je posvećen matematici i njenim primenama. Slogan „Matematika sveta“ upućuje na neraskidivu vezu matematike i geografije, što se ogleda u mnogim aspektima.

Predavanje "Matematika u Brazilu, od nule do elite za sedamdeset godina“ održao je dr Milan Merkle (Elektrotehnički fakultet, Beograd). Inače, 2018, Svetski kongres matematičara održan je u Brazilu. Te godine Brazil je svrstan u grupu elitnih zemalja zajedno sa SAD, Rusijom, Francuskom, Izraelom i Japanom  po klasifikaciji međunarodne matematičke unije (ICM2018).
Put do ovog visokog mesta trajao je dugo i zahtevao je mnogo rada. U 19. veku, u Brazilu, matematika je izučavana u cilju njene primene u inženjerstvu, astronomiji, vojsci... Godine 1848. Vojna akademija u Riju de Žaneiru dala je prve doktorante iz matematike. U to vreme, svet je upoznao matematičara Žoaguima Gomeza, koji je, posle studija medicine, nastavio studije matematike na Sorboni, kod čuvenog profesora Košija.
U 20. veku počeo je razvoj matematike kao nauke tako da je 1916. osnovana Brazilska akademija nauka, 1920. prvi univerzitet, a 1934. prvi fakultet filozofije i prirodnih nauka, na kome se predavala i matematika. Godine 1952. osnovan je Institut za teorijsku i primenjenu matematiku IMPA, na čelu sa Leliom Gamom. Leopoldom Nahbinom, Maurisiom Peiksotom, Manfredom Perdligaom de Karmom... To su matematičari koji su se, po sticanju doktorskih titula pre svega u SAD, vratili u svoju zemlju i uticali na brzi razvoja ove nauke. Danas IMPA organizuje besplatne master i doktorske studije, dovodi profesore sa prestižnih univerziteta iz celog sveta, organizuje kongrese matematičara Brazila svake druge godine. Nastava se drži iz mnogih matematičkih disciplina: analize, dinamičkih sistema, diferencijalne geometrije, a ima i oko 500 istraživačkih timova koji se bave diskretnom matematikom, algebarskom geometrijom, matematičkom fizikom, verovatnoćom, simplektičkom geometrijom. U njima rade brazilski matematičari: Žakob Palis, Cezar Kamačo, Marselo Viana, Artur Avila...  

Najmasovnije na svetu

Danas u Brazilu postoji oko šezdeset master i trideset doktorskih studija iz matematike. Interesantno je da studenti mogu da slušaju i polažu samo jedan predmet, a ne kompletne studije. Za ovaj izuzetan kvalitet nastave zaslužni su i organizatori brojnih takmičenja, pre svega brazilska olimpijada (OBM) koja se održava od 1978.godine i na kojoj učestvuje čak pola miliona učenika i studenata.
Druga vrsta takmičenja namenjena je otkrivanju talenata i promociji matematike uopšte. Sastoji se iz dve faze: u prvoj učestvuje oko 18 miliona učenika iz oko pola miliona škola; u drugu fazu ulazi oko milion najbolje plasiranih. Na ovom takmičenju dodeljuje se 500 zlatnih, 1500 srebrnih i 4500 bronzanih medalja. Ovo takmičenje je najmasovnije matematičko takmičenje na svetu. Godine 2017. i 2018. proglašene su godinama matematike u Brazilu.
Dobar je za proveru i dokazivanje rezultata (poznatog ili pogođenog), ali nije pogodan za nalaženje novog još uvek nepoznatog rešenja.
Arhimed je napravio metod za izračunavanje broja π ( 3 1/7 < π<3 7/71), osmislio  je sistem stepenovanja za predstavljanje veoma velikih brojeva. Takođe, bio je jedan jedan od prvih naučnika koji je primenio matematiku na fizičke pojave, začetnik je hidrostatike i statike, uključujući zakon poluge. Zaslužan je za projektovanje mnogo inovativnih sprava koje su primenjene za odbranu od rimskih osvajača.
Profesor Hejberg, priređivač radova o Arhimedu, 1906. otkrio je Arhimedov davno izgubljeni rad pod naslovom "Metod" koji sadrži elemente modernog integralnog računa.

Ministarstvo aritmetičke inteligencije

Tokom dužeg vremena, zapadna i istočna civilizacija razvijale su odvojen i potpuno različit princip matematičkog mišljenja. Samo u poslednje vreme, uporedo sa razvojem savremenih komunikacionih tehnologija, istočni i zapadni matematičari sarađuju i razmenjuju svoja znanja i iskustva.
O japanskoj matematici se vrlo malo zna. Dr Filip Jevtić, iz SANU, približio nam je matematiku iz Japana, navodeći da matematika, a  posebno geometrija mora da bude vizuelno lepa i da sadrži kaligrafiju... Do 17. veka, matematičko obrazovanje u Japanu oslanjalo se na izučavanje kineske matematike i bilo je dostupno malom broju ljudi. Jedini udžbenik je bio "Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti" kineskog autora. Izučavane su površina, zapremina u funkciji gradnje, razmere i proporcije u razmeni pirinča, aritmetičke i geometrijske sume (vezano za novac), linearne jednačine sa dve nepoznate za izračunavanje suficita i deficita, Gausova eliminacija za rešavanje problema iz poljoprivrede i prodaje životinja i aritmetika u službi oporezivanja. Izučavanje je bilo vezano za Ministarstvo aritmetičke intiligencije.

Tokom dva i po veka vladavine Tokugava dinastije, nastala je japanska matematika Vasan koja se, zbog skoro potpune izolacije od ostatka sveta, razvijala nezavisno od zapadne matematike. Samuraji, nova viteška klasa, nezadovoljni vladom, postali su putujući učitelji, a budistički i šinto hramovi - centri učenja i akademskog okupljanja (neka vrsta univerziteta).
Period izolacije u Japanu je period cvetanja kulture i ekspanzija pismenosti. U to vreme, nastaju Sangaku,umetnički oslikane i ispisane drvene tablice koje sadrže geometrijske probleme (često sa rešenjima). Sangaku problemi i načini njihovih rešavanja najbliži su oblasti koja se na zapadu zove Euklidska geometrija. Iz skupa aksioma zaključivalo se o logičkim vezama i skupu svih numeričkih odnosa. Kreatori tablica su osmišljavali sliku koju su grafički precizno konstruisali, postavili problem (npr. naći odnos prečnika većeg i manjeg kruga). Važniji cilj je   bio postavljanje problema, a ne i njegovo rešavanje. Drugi cilj je bio da sve to bude vizuelno lepo.
"Pravi matematičari su pitagorejci jer oni ne sumnjaju da matematika postoji nezavisno od ljudskog uma. Ipak, u nekim časovima dokolice, matematičari spekulišu o tome kako bi neka drugačija matematika od one koju koju poznajemo mogla izgledati. Sangaku pruža deo odgovora na oba pitanja. Da, pravila matematike su ista i na Istoku i na Zapadu, ali, tradicionalni japanski geometri koji su stvarali Sangaku su videli svoj matematički svet drugim očima i ponekad rešavali probleme na nezapadni način. Naučiti tradicionalnu japansku matematiku znači naučiti novi način mišljenja"("Sveta matematika: Japanska  hramska geometrija", Fukagava Hidetoši i Toni Rotman).
Jedna japanska teorema glasi: suma poluprečnika svih krugova upisanih u ciklične  poligone je ista bez obzira na njihovu triangulaciju. Ova teorema se može dokazati posebnim  nezapadnim metodama. Za rešavanje nekih drugih problema, japanski matematičari koriste ovu teoremu. Napr. Šodijev hekslet je dokazan u Japanu, bez znanja analize i analitičke geometrije, sto godina pre zapadnih matematičara.
Padom dinastije Tokugava, u drugoj polovini 19. veka, učiteljima je zabranjen rad. Do danas je sačuvano oko 900 Sangaku tablica. I danas retki entuzijasti u Japanu prave Sangaku tablice, ali one su danas više umetnička dela nego geometrijski zadaci.

Samo jedan ispitni rok

Iako grad-država u jugoistočnoj Aziji, Singapur ima 17 fakulteta na kojima studira 27.000 studenata na osnovnim studijama i 8.000 postdiplomaca. Nacionalni univerzitet postoji od 1980. Nastava je organizovana slično kao u Srbiji, osim što je broj studenata koji slušaju svaki predmet mnogo veći.
Tamošnji studenti imaju samo jedan ispitni rok u toku godine za svaki predmet. Ukoliko ga ne polože, sledeće godine moraju ponovo da ga slušaju. Takva dinamika zahteva da ispiti budu manje zahtevni, tako da je za prolaz dovoljno samo 30% urađenog ispita, a za najvišu ocenu samo 70%. Predavač u Beogradu dao je primer prolaznosti: linearnu algebru je slušalo i polagalo čak 546 studenata jedne godine, a samo 50 nije položilo ispit.
Uprava Univerziteta se trudi da svake  godine pošalje na razmenu u inostranstvo do 2000 studenata. Oni provedu bar jedan semestar na nekom stranom univerzitetu, a iskustva koja steknu primenjuju u svojoj zemlji unoseći novi kvalitet u nastavu. Prilikom upisa na fakultete, budući studenti polažu prijemni ispit, a jedinstvena komisija na nivou države ima diskreciono pravo da upiše izvestan broj po svom izboru, bez obaveze obrazloženja svoje odluke.
Matematika se u Singapuru izučava u okviru Prirodno-matematičkog fakulteta. Departman za matematiku osnovan je 1929, a prvi doktorat odbranjen je 1964. Institut za matematiku osnovan je 2000. Zastupljene su mnoge oblasti istraživanja, teorijske i primenjene: algebra i teorija brojeva, kombinatorika i teorija grafova, dinamički sistemi, geometrija i topologija... A od primenjenih: matematička biologija i bioinformatika, analiza slika, finansijska matematika i matematička ekonomija, numerička analiza i naučno izračunavanje, optimizacija, mašinsko učenje i nauka  o podacima.
Tamošnji profesori gostuju na drugim univerzitetima po pozivu. Tri matematičara iz drugih zemalja, dobitnika Fildsove medalje, gostovali su na singapurskom Univerzitetu. Gost je bio i matematičar iz Toronta, naš Stevo Todorčević.

“Sendvič program”

Papuanka Harina Monim studirala je matematiku na Univerzitetu Džogdžakarta, na ostrvu Javi. Posle studiranja upisala je doktorske studije, a 2013. javila se Departmanu za matematiku i informatiku u Novom Sadu jer je htela da aplicira za  stipendiju indonežanske vlade za tzv. "Sendvič program", tj. deo u Novom Sadu, a deo u Indoneziji. Mentor joj je bio dr Branimir Šešelja. Posle uspešne saradnje, Harina Monim je pozvala svog mentora u posetu Papui. Svoje impresije o ovoj zemlji i matematici u njoj dr Šešelja je pretočio u predavanje na ovogodišnjoj manifestaciji M3.
Primer tradicionalnog matematičkog znanja - etnomatematike je Oksapmin način brojanja. On se zasniva na brojanju tačaka na gornjem delu tela, počev od palca na  desnoj ruci do malog prsta na levoj ruci. Oči predstavljaju brojeve 13 i 15. Drugi primer je pravljenje čvorova od užadi koja povezuju štapove od kojih su se pravile specijalne kuće Rumah Kaki Seribu (kuća od hiljadu stopa). Pravila koja su primenjivaja prilikom vezivanja su ista koja važe u Euklidovoj geometriji za pravougli trougao. Sva znanja su prenošena usmenim putem i nema pisanih tragova.
Od 1962.god Univerzitet u Papui postaje deo obrazovnog sistema Indonezije. Danas je u njegovom sklopu 13 fakulteta. Na njima se realizuju osnovne i master studije, a za doktorske se odlazi na Javu.

Nastava u 5 oblasti

Svetlana Mitrović Vlašković provela je deceniju na Novom Zelandu, radeći kao profesor matematike. Svoje iskustvo iznela je u predavanju o nastavi matematike na Novom Zelandu.
U Novom Zelandu, osim državnih i privatnih škola, postoje međunarodni koledži koji rade po Kembridž ispitnom sistemu. Zanimanje prosečnog srednjoškolskog profesora smatra se stresnijim od rada čuvara zatvora, slično kao u Engleskoj. Izuzetak je rad sa najstarijim učenicima koji su matematiku izabrali kao predmet. Interesantno je da srednjoškolski nastavnik, slično kao kod nas asistent na fakultetu, nema mogućnost davanja konačne ocene. On  izlaže gradivo, sprovodi interne testove u školama, pregleda i ocenjuje polugodišnje testove, ali na kraju godine samo dežura na završnim ispitima. Državna komisija sastavlja jedinstvene zadatke za sve učenike a oni ih, rešene pod šiframa, vraćaju komisiji koja ih pregleda i izveštava o rezultatima. Nastavu matematike ne mora nužno da drži matematičar već i nastavnik koji je, u toku svojih studija, slušao 2 semestra matematiku.Celokupan matematički program na Novom Zelendu, na svim nivoima od prvih razreda osnovne škole do završnih razreda srednje, zasniva se na 5 oblasti koje se proučavaju u koncentričnim krugovima: brojevi, algebra, geometrija, merenja, statistika (verovatnoća).
Osim klasične nastave, prilično je popularno “savremeno učenje na daljinu” koje se sporovodi zahvaljujući internet tehnologijama. Ono omogućava da se obrazuju i učenici koji zbog verskih, sportskih, zdrastvenih i drugih razloga nisu u mogućnosti da pohađaju klasičnu nastavu.
I na Novom Zelandu se poklanja pažnja etno-matematici, posebno zahvaljujući Bilu Bartonu, jednom od petoro matematičara na svetu koji se posebno bave etno-matematikom, tj. spojem matematike i kulture. 
Osim inspirativnih predavanja, manifestaciju su obogatile brojne izložbe i školske radionice. Jedna od izložbi pod nazivom "Kroz matematičke predele" pokazala je  različitost običaja, navika, kulture, arhitekture... u raznim delovima sveta.
Poseban dan bio je posvećen Milutinu Milankoviću i njegovom naučnom opusu.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"