MATEMATIKA
Borka Marinković
Funkcije
Od saobraćaja do cunamija
Genijalna Dekartova ideja uvođenja pravouglog koordinatnog sistema (prva polovina 17. veka, po njemu i nosi naziv) prelomna je u razvoju matematike. Ideja da se svakoj tački u ravni pridruži uređen par realnih brojeva, tzv. koordinate, omogu- ćila je da se razni geometrijski problemi formulišu, izučavaju i rešavaju algebarskima sredstvima (jednačinama i nejednačinama).
I obrnuto, da se algebarske veze prikažu geometrijski. Otkrivanje zavisnosti između pojedinih veličina je veoma značajno.Veličine koje u nekom procesu mogu imati različite vrednosti nazivamo promenljivim (veli- činama). U matematici je uveden pojam funkcionalne zavisnosti ili funkcije.
Ako su dve promenljive x i y u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne promenljive (x) menja vrednost druge promenljive (y), onda se promenljiva y naziva funkcijom promenljive x. Funkcija može imati više promenljivih. Ovu analitičku definiciju funkcije matematičari manje koriste (pristupačnija je definicija iz teorije skupova i topologije).
Funkcija ili preslikavanje je pridruživanje jednog elementa iz skupa A (originala, domena) drugom elementu iz skupa B (slika, kodomena) po određenom pravilu F. U najvećem broju oblasti matematike koristi se tzv. funkcija realne promenljive. To je funkcija u kojoj je skup A podskup ili skup realnih brojeva , a skup B skup realnih brojeva.
Latinska reč „funkcija” ima više značenja, ali mnogi prvo pomisle na njeno matematičko značenje. Preciznije, na njenu značajnu i raznoliku primenu u inženjerstvu, građevinarstvu, saobraćaju, ekonomiji, medicini , vojnim naukama… praktično u svim oblastima savremenog života
Način zadavanja funkcija
Zadati funkciju znači odrediti pravilo po kojem svakoj vrednosti nezavisne promenljive (argument) pridružujemo određenu vrednost. Funkcije se mogu zadati na više načina:tablično, grafički, analitički.Tablični način se često primenjuje u prirodnim naukama, tehnici i ekonomiji. Za različite vrednosti argumenata (u eksperimentima) izračunate su vrednosti funkcija.
Ovako zadate funkcije nisu u potpunosti određene (samo za neke vrednosti). Međutim, ukoliko su vrednosti argumenata dovoljno blizu, dobijaju se vrlo precizne vredenosti funkcija. Tabelarno su prikazane logaritamske tablice, finansijske tablice (složen kamatni račun) i sl. Grafički način se sastoji u geometrijskom predstavljanju skupa nezavisnih i zavisnih vrednosti u koordinatnom sistemu.
Tu se ne daje mogućnost da se tačno izračunaju vrednosti funkcija za određene vrednosti argumenata, ali se zato na očigledan način prikazuju tok i važna svojstva funkcije. Analitički način je zadavanje formule iz koje se vidi koje se sve operacije moraju izvršiti nad argumentom x da bi se dobila vrednost funkcije. Prema vrsti operacija razlikujemo više elementarnih funkcija.
Elementarne funkcije zadate analitički:
• Linearna y=ax+b
• Stepena funkcija (polinom)
• posebno kvadratna funkcija y=ax2+bx+c
• Korena funkcija y= n √x, n∈N
• Racionalna funkcija y=k/x
• Eksponencijalna y=ax, a>0, a≠1, posebno y=ex, e≈2,718
• Logaritamska funkcija y=loga x, a>0, a≠1, posebno y=lnx (prirodni logaritam, osnova je e)
• Trigonometrijske funkcije: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx
• Inverzne trigonometrijske funkcije: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
U primenama se najčešće koriste povezane elementarne funkcije ili složene funkcije. Najvažnija svojstva realnih funkcija su: definisanost, ograničenost, asimptote, monotonost, parnost-neparnost, periodič- nost, nule, znak, ekstremne vrednosti (min, max), konveksnost. Kada je funkcija zadata analitički, matematičkim ispitivanjem njenih osobina (toka), moguće je prilično precizno nacrtati njen grafik.
Primena matematičkih funkcija u ekonomiji
Za rešavanje složenih ekonomskih problema, onda kada se ciljevi poslovanja mogu kvantitativno izraziti, za donošenje optimalnih poslovnih odluka najefikasniji alat su različiti ekonomsko-matematički modeli. Pri definisanju odgovarajućeg modela, za izražavanje odnosa između promenljivih, značajnu ulogu imaju ekonomsko-matematičke funkcije tražnje, ponude, ravnoteže tržišta, ukupnog i graničnog prihoda, ukupnih, graničnih i prosečnih troškova, dobiti, proizvodnje.
Funkcija tražnje Količina robe koju su kupci u određenom vremenskom periodu spremni da kupe, zavisi pre svega od cene te robe. Zavisnost ove dve veličine (promenljive) je obrnuto proporcionalna. Obrnut proces dešava se u slučaju smanjenja cene određene robe, kada dolazi do povećanja njene tražnje.
Takođe, na tražnju neke robe utiče međusobna zavisnost nekih roba i faktori kao što su kupovna moć, ukus potrošača, njihov broj. Imajući u vidu navedene faktore može se postaviti opšti oblik funkcije tražnje : qi = g(pi, pj,D,n,m), gde veliine u zagradi predstavljaju uticaj gorenavedenih faktora. Funkcija tražnje u užem smislu, gde je jedini faktor zavisnosti cena, je oblika: q=f(p), poznata je pod imenom Maršalova funkcija tražnje. Odabrani matematič- ki oblik ove funkcije mora predstavljati najbolju mogu- ću aproksimaciju izražene zavisnosti kretanja cene i tražnje posmatrane robe.
Primena trigonometrijskih funkcijau seizmologiji
Pri pomenu reči cunami, misli se na (često veoma opasne) morske talase nastale posle tektonskih poremećaja na dnu okeana. Kada se desi tektonski pokret u okeanu, voda ide prvo ka dnu i povlači se od obale, a potom nadolazi i povećava nivo mnogo više od uobičajnog dok se konačno ne stabilizuje na normalnom nivou.
Opisana pojava traje oko 15 minuta. Ova pojava se može prikazati sinusnom funkcijom gde podeoci na x–osi pokazuju vreme (min), a na y–osi visinu vode (m). Grafik ide prvo nadole jer je navedeno da, u slučaju zemljotresa, voda ide nadole u odnosu na normalnu dubinu. Dostiže svoj minimum u zavisnosti od dubine vode i amplitude talasa.
Zatim se vraća na normalnu dubinu, za isto vreme. U sledećoj fazi se penje dok ne udvostruči visinu, a u poslednjoj fazi se vraća na normalni nivo. Period od 15 min je podeljen na četiri dela: I - nadole do min, II - nagore do nule , III - nagore do maksimuma, IV - nadole do nule. Postavljanjem odgovarajuće sinusne jednačine u zavisnosti od amplitude talasa, mogu se postaviti i rešiti problemi npr. predvideti (izračunati) dubina vode posle određenog vremena ili dužina talasa. Trigonometrijske funkcije se koriste i kao vizuelni prikazi koji imaju informativno ili upozoravajuće dejstvo. Čak i u industriji video-zabave trigonometrijske funkcije se iscrtavaju na velikim ekranima koji prate javne manifestacije.
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
