MATEMATIKA

Borka Marinković

Udžbenici i učenje pre jednog veka

Da se čuva u ispravnom stanju

Veliki broj matematičkih ideja i rešenja traju više hiljada godina. Mnoge matematičke oblasti nastale su u Indiji, Egiptu, antičkoj Grčkoj i Persiji, a tokom vekova su samo nadograđivane. Međutim, učenje matematike menjalo se tokom istorije - od Pitagorejaca koji su morali da pamte bez zapisivanja do korišćenja savremenih tehnologija koje na mnogo različitih načina olakšavaju učenje veoma složene materije. I udžbenici matematike su  prilagođavani vremenu i datim okolnostima.

Saša Drndarević iz mesta Zlakuse, između Požege i Užica, poznatom po jedinstvenoj recepturi i ručno rađenoj grnčariji, vlasnik je obimne biblioteke. Knjige je sakupljao mnogo godina. U njoj su i retki i veoma interesantni udžbenici iz matematike iz prve polovine 20. veka.
U jednom udžbeniku iz 1942.godine napisan je zanimljiv predgovor. U njemu je sadržana istina o potrebnom kontinuitetu usvojenog znanja i njenog razumevanja.

„1. Učeniku se preporučuje da ovu knjigu dobro čuva i održava u ispravnom stanju, pošto će sledećih godina često biti upućivan na pojedine stavove iz nje.
2. Kad učenik računa na table, mora neprestano da govori i da svaki postupak objašnjava. Ćutanje na tabli je čamotinja u razredu.”

U jednom udžbeniku je data geometrijska definicija bačve.

„Bačva je rotaciono ili obrtno telo napravljeno od drvenih duga i ima dva jednaka okrugla dna. Neke bačve imaju eliptična dna. Najveći je prečnik bačve na čepu (2R), a najmanji na dnima (2r). Normalni razmak oba dna zove se visina bačve (v). Zapremina bačve se ne može tačno izračunati, a izračunava se sa približnom tačnošću po obrascu V=((2R+r)/3)2 *v*π.
Primer: Bačva u Hajdelbergu ima dužinu 8,6m, prečnik na čepu 5,8m, a prečnik na dnu 5,2m. Koliko hl sadrži ta bačva? Nacrtaj tlocrt i nacrt bačve.”

Izračunavanje zapremine bačve (bureta) je ne samo interesantan zadatak već je njena vrednost bila veoma potrebna velikom broju stanovnika. Bačva ili bure je složeno geometrijsko telo. Zapremina takvih tela se najednostavnije izračunava kao zbir zapremina  jednostavnijih geometrijskih tela za koje već postoje formule.

Bezuslovno, pažljivo

U udžbeniku „Trgovačka računica”, knjiga prva, autora Bran. B. Todorovića, profesora Srp. Kralj. Trgovačke Akademije i direktora Priv. Trgovačke Škole iz 1920. Godine, nalazi se uputsvo za pisanje brojeva i računanje sa njima:
„Četiri osnovna vida računanja sa neimenovanim celim brojevima

§ 1.

1. Pre svega treba uvek jasno pisati cifre, ali ne suviše velike ili suviše razdaleko, jer se time bez potrebe zauzima prostor, a time je I računanje manje preglednije. Ali ne sme se pisati ni suviše sitno, jer se može lako da pobrka i previdi. Poznato je iz iskustva da oni koji lepo i jasno pišu cifre, po pravilu pouzdano računaju.

2. Bezuslovno treba pažljivo potpisivati cifre pazeći na mestne vrednosti, dakle jedinice pod jedinice, desetice pod desetice itd.

3. Nije zgodno, kod višecifrenih brojeva, odvajati zapetom milione od stotine hiljada ili čak hiljade od stotina jer može lako da se pobrka sa desetnom zapetom. Svakako biće pregledno ako se između pojedinih grupa ostavi malo više prostora, npr. 15 384 695 (a ne 15,384,695).

4. Treba se sasvim odvići glasnog računanja; ono smeta kako onom ko radi tako i drugima. Dalje, treba između cifara izbaciti nepotrebne reči kao: i, puta, jeste i tome slično.

5. Težiti za tim da se postigne, što je više moguće, lakoća i sigurnost u računanju na pamet, a ne pouzdati se suviše na pisanje cifara.

6. Da li je tačno duže računanje, proveriti kratkim ponavljanjem ili naročitom probom, ili bar brzim pregledom.

§ 2.

Pretpostavlja se znanje i značenje uobičajnih izraza koji se upotrebljavaju u 4 osnovna vida računanja:

1. Sabiranje; sabrati = skupiti, zbirati; sabirci; suma ili zbir. Znak + (čitaj: plus);

2. Oduzimanje; oduzeti=odbiti; umanjenik; umanitelj; ostatak ili razlika. Znak – (čitaj: minus);

3. Množenje; množiti=više puta uzeti; množenik; množitelj; činitelji; proizvod. Znak x ili • (čitaj: puta)

4. Deljenje; deliti=podeliti; deljenik; deljitelj; količnik. Znak: (čitaj: podeljeno sa).

Olakšice pri sabiranju

§ 3.

1. Vezivai koliko je moguće cifre koje se dounjuju do 10. Npr. 7+4+6+2+5+3+9=(čitaj 7;17;27) 36

2. Ako se više puta pojavljuje jedna ista cifra, onda treba prosto dodati proizvod tih jednakih pozicija. Npr. 7+6+6+6+6=(čitaj 7;4x6=24) 31

Navedene su i druge olakšice za više sabiraka, kao i primeri i zadaci za vežbanje.

§ 4.

1. Sa raznih razloga bolje je oduzimati dodavanjem tj. tražiti koliko treba dodati pojedinim umaliteljevim mestima, pa da se dobije umanjenik, no da se umanitelj oduzima od umanjenika. Pri ovom oduzimanju dodavanjem, umaliteljeva cifra povećava se uvek za 1, kad se kod prethodnog dodavanja mora umanjeniku dodati desetica.”

Navedena je najvažnija olakšica. Slede primeri i zadaci za vežbanje.
Glas srpske kraljevske akademije XCIX, 1922. godine objavljuje rad Mihajla Petrovića-Alasa: „Jedna osobina linearnih diferencijalnih jednačina”. Pre navođenja samog rada, Petrović dodaje opšte napomene:

„Pri obrazovanju sistema diferencijalnih jednačina kretanja čvrstog tela nije potrebno pisati sve jednačine s obzirom na jedan te isti osnovni trijedar nego se može početi sa trijedrom, koji odgovara jednom osnovnom pravcu, pa zatim preći ka trijedru čije su ose konstruisane drugim načinom; najzad se može od nekoliko trijedra izabrati samo one pravce, koji su osobito zgodni u vezi sa osobinama poblema - samo je potrebno da nijedna jednačina sistema nije posledica drugih.
Jednačine, koje smo razmotrili, jesu naročito zgodne onde gde su već poznate ove ili one osobine kretanja, na primer, u slučaju kretanja tela neslobodnog, ili kad su već poznati neki integrali kretanja.
Osim ovde izloženih načina za konstruisanje prirodnih jednačina mogu se razviti i drugi načini, o kojima nameravam govoriti u drugom članku. Najzad, imam nameru pokazati i primenu naših jednačina u raznim problemima kretanja čvrstog tela.”

Diferencijalne jednačine

 Nastanak diferencijalnih jednačina povezuje se sa Njutnovim i Lajbnicovm nezavisnim otkrićem infinitezimalnog računa. Godine 1671. Njutn u svom radu pominje tri tipa ovih jednačina. Godine 1695. Jakob Bernuli došao je do konačnih rešenja obične diferencijalne jednačine koja je po njemu i dobila ime. Diferencijalnim jednačinama i njihovim primenama bavili su se  D’Alamber, Ojler, Lagranž, Furier i drugi.
Diferencijalne jednačine se dele na obične i parcijalne i obe mogu biti linerane i nelinearne. Obične (ODE) diferencijalne jednačine sadrže funkciju jedne nezavisne promenljive i njenih izvoda. Parcijalne (PDE) diferencijalne jednačine sadrži funkciju više pomenljivih i njihove parcijalne izvode. Red diferencijalne jednačine je najviši red izvoda te jednačine (I, II,...reda). Rešenje ili integral diferencijalne jednačine je svaka funkcija koja je identički zadovoljava.
Diferencijalne jednačine imaju široku primenu. One su matematički modeli velikog broja procesa u prirodi i društvu. Posebno, parcijalnim  diferencijalnim jednačinama se mogu opisati fenomeni: zvuk, toplota, elektrostatika, elektrodinamika, elastičnost, protok fluida, kvantna mehanika. Posebna disciplina koja proučava primenu diferencijalnih jednačina je matematička fizika.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"