MATEMATIKA
Borka Marinković
Kurt Gedel: Logika i filozofija brojeva
Zbog nepoznatog austrijskog doktoranda
Na Filozofskom fakultetu Velike škole u Beogradu, počev od 1905.godine, proučava se matematika. A kada je 1947. osnovan Prirodno-matematički fakultet, studije matematike su postale deo tamošnje akademske nastave. Na studijama je školske 1977/78. uveden predmet: filozofija matematike. U najkraćem, to je grana filozofije koja proučava pretpostavke, osnove i implikacije matematike. Njen cilj je da se razumeju priroda i metode matematike jer logička struktura i priroda matematike daju filozofiji novu dimenziju. Pravci filozofije matematike su: platonizam, formalizam, logicizam, spoznajne teorije i socijalni konstruktivizam.
Matematika je oduvek smatrana za najegzaktniju nauku, onu u kojoj nema proizvoljnosti i dvosmislenosti. Nešto jeste ili nije - matematička tvrđenja su uvek pouzdana! Razvojem matematičke logike, među matematičarima se povećala potreba da se matematika precizno definiše.
Logička uzročno-posledična struktura matematike je savršena. A da li je to baš uvek? Prvo, do tada nezamislivo negiranje dolazi iz geometrije. Prostor u kojem se krećemo Euklid je opisao geometrijom koja je u potpunom skladu sa iskustvom. Logički izgrađen, njegov sistem je čvrsto stajao u opštem sistemu ljudskih znanja pa su se u njega zaklinjali mnogi veliki naučnici tokom istorije.
I tako unedogled...
Godine 1826. Nikolaj Ivanovič Lobačevski izložio je, na Kazanskom univerzitetu (Rusija), rezultate svojih istraživanja o novoj geometriji koja nije imala iskustvenu potvrdu. Geometrija Lobačevskog i Rimana donela je revoluciju u nauci, pokazavši da je euklidska geometrija samo jedna od alternativnih geometrija u zavisnosti od izabranog skupa aksioma.
Početkom 20. veka, britanski matematičar i filozof Bernard Rasel došao je do paradoksa u teoriji skupova, koji je nazvan „Raselov paradoksˮ (paradoks koncepta skupa svih skupova koji nisu članovi samih sebe).
U to vreme David Hilbert, nemački matematičar, krenuo je u rekonstrukciju matematičkih osnova. Njegova ideja, danas poznata pod imenom Hilbertov program, je izgradnja konačanog i kompletnog sistema aksioma koji opisuje celokupnu matematiku i dokazuje da je ovaj sistem bez kontradikcije. Hilbert je smatrao da bi se složeniji sistemi lako mogli svesti na jednostavnije i da bi se cela matematika mogla svesti na osnovnu aritmetiku, a svako novo otkriće moglo opisati tim jednostavnim jezikom.Mnogima se učinilo da ovaj program može biti i rešenje. A onda, 1931, objavljen je rad koji je uzdrmao celokupnu matematičku zajednicu. Njegov autor bio je Kurt Gedel.
Reč je o radu naslovljenom sa „O formalno neodlučivim stavovima Principia Mathematica i srodnih sistema”, objavljenom u časopisu “Monantshefte für Mathematik und Physik”, za koji se smatra da je jedan od najznačajnijih rezultata u nauci (ne samo) logike iz prošlog veka, a koji je doprineo da njegov autor bude svrstan među najveće logičare u istoriji! Gedel je afirmisao nove (plodne) pojmove u mišljenju, kao što su: numeracija, dokazivost, odlučivost i drugo, odnosno nove naučne teorije poput teorije modela, rekurzivnih funkcija, teorije algoritama i slično, sve do otkrića programskih jezika i veštačke inteligencije. O čemu je reč?
Gedelč je ukazao da, ako prihvatimo konačan sistem aksioma koje Hilbert predlaže, imaćemo uvek jedan izraz koji nećemo moći ni da dokažemo ni da opovrgnemo upotrebom tih aksioma. A ako se pređe u veći sistem, dokaz je moguć, ali onda taj novi, veći sistem ima svoje aksiome koje će moći da se dokažu u samo još većem novom sistemu. I tako unedogled.
Duh iznad moći svake mašine
Čuveni holandski matematičar Lajcen Brauer, za razliku od formalističkog pristupa, predvodnik druge struje nazvane intuicionisti, daje sledeći primer: „Niz cifara 123456789 pojavljuje se negde u decimalnoj reprezentaciji broja π=3,1414925…ˮ, predstavlja tvrđenje za koje ne možemo utvrditi da li je tačno ili nije jer ne postoji metod za odlučivanje. Gedel je dokazao da je nemoguće utvrditi da li je neki aksiomatski sistem konzistentan ili ne.
„Opažam (sa matematičkom izvesnošću) da su sve ove aksiome, kao i pravila zaključivanja, valjane i verujem da one sadrže čitavu matematiku. Ako neko tvrdi tako nešto, on protivreči sebi. Jer, ako opaža da su aksiome o kojima je reč valjane, on takođe opaža (sa istim stepenom izvesnosti) da su one konzistentne. Dakle, on poseduje matematički uvid koji nije posledica njegovih aksioma.ˮ (1951)
„Matematika ne može da se kompletira u smislu da se njene aksiome nikada ne mogu obuhvatiti pomoću konačnog pravila, što će reći da ljudski duh (čak i u oblasti čiste matematike) beskonačno prevazilazi moći ma koje konačne mašine, ili pak postoje apsolutno nerešivi problem i navedene vrste.ˮ (1951)
Jedna od interesantnih posledica Gedelovih rezultata je da se nikada ne mogu napisati programi za računar koji daju odgovore na sva matematička pitanja. („Šta računari ne moguˮ, Hubert Drajfus). Rad Gedela iz 1940. je značajan doprinos Kantorovoj hipotezi o kontinuumu, aksiomi izbora, funkcionalno zasnovanoj semantici na intuicionističku logiku i novom rešenju jednačina opšte relativnosti.
Gedolovi rezultati zadali su razarajući udarac matematici: najlogičniji od logičkih sistema nije kompletan, a možda ni konzistetan! Najugledniji među matematičarima epohe, Bertran Rasel (1872-1970) nije video teoreme o nepotpunosti kao dokaz da nešto nije u redu sa njegovom ili Hilbertovom teorijom. On je smatrao da je Gedelov pristup svakako bio avangardan u trenutku objavljivanja.
Beskrajna zlatna nit
Nacionalna medalja za nauku Gedelu je namenjena 1975, ali je on zbog svojih strahova odbio da ode na ceremoniju u Vašington. Trebalo je da mu je dodeli predsednik Džerald Ford, koji ga je bezuspešno ubeđivao i nije pomoglo ni slanje privatnog automobila po njega.
Bojao se da može biti otrovan, pa je njegova supruga morala da proba svako jelo pre njega. Kada se ona razbolela, izgubio je njen čvrst oslonac u svemu, a posebno u bezbednost hrane. Pošto je još u mladosti imao problema sa čirom, zbog čega je bio na strogoj dijeti, preminuo je zbog odbijanja da uzima hranu.
„Timeˮ magazin je 1999. objavio listu najvećih naučnika i mislilaca 20. veka. Na toj listi su bili i Kurt Gedel i Alen Tjuring, matematičari, logičari.
Hofšteter, inače profesor računarstva i kognitivnih nauka na Univerzitetu Indijana u Blumingtonu, je zbog kreativnih analogija, kojima je na pristupačan način povezao pravilnost Bahove muzike, Ešerovog slikarstva i logičkog zaključivanja u matematici, svoju knjigu „Gedel, Ešer, Bah - jedna beskrajna zlatna nit” učinio zanimljivom i za širu publiku. |
Nezavisno od naše svesti
Možda najinteresantniju kritiku uputio je Ludvig Vitgenštajn (1889-1951), filozof zainteresovan za logiku, filozofiju jezika i filozofiju matematike. Po njemu, teoreme nisu ništa drugo do logičko-jezički paradoksi pa nije potrebno davati im bilo kakav značaj. On smatra da Gedel nije rešio problem jer nije ponudio strog matematički dokaz već samo igru reči koja je na korak od kontradikcije. Drugi su odbacili njegove primedbe. Bilo je i govora o tome da se Vitgenštajn više usredsredio na sam jezik i značenje reči nego na sam logički dokaz pa je, izvodeći pogrešne zaključke, pogrešno protumačio ceo Gedelov rad.
Lavina kritika i korespodencije je potrajala nekoliko godina. Senzacionalni novinski naslovi govorili su o kraju matematike, o očaju mnogih što im se decenijska naučna karijera ruši samo zbog jednog naučnog rada mladog nepoznatog austrijskog doktoranta.
Gedelova pozicija u filozofiji matematike uobičajeno se označava kao platonizam. To je gledište po kojem matematički objekti postoje nezavisno od naše svesti. Iako prećutno prihvatan kao „radna” hipoteza mnogih savremenih matematičara, platonizam je sve samo ne opšteprihvaćen kada je potrebno da se matematičari izjasne o svojim filozofskim stanovištima. Platonizam, po Gedelu, predstavlja opravdanje matematičke gramatike.
Gedel je srušio sve ono u šta su matematičari 19. veka verovali. Ne postoji apsolutna istina, ne postoji jedna teorija koja može da objasni celokupnu matematiku niti bilo koju drugu nauku. Možemo saznati mnogo, ali ne možemo saznati sve.
Savremenici poput Džona fon Nojmana i Pola Bernajsa su odmah uvideli značaj Gedelovog rada. Gedel, neopterećen velikim imenima, siguran u svoje ideje i dokaze, ukazao je na greške i promenio matematičku logiku i celokupnu matematiku za sva vremena. Uveo ih je u 20. vek i omogućio im da velikim koracima grabe napred.
Nakon Gedela, možda matematika nije postala osnova za sve prirodne nauke, ali je omogućila nastanak novih poput računarstva i informatike koje su potom promenile i nauku i ljudske živote, tokom 20. i 21. veka.
Gospodin Zašto
Gedelov život je bio podjednako interesantan kao i njegov naučni rad. Izrazitu intiligenciju i radoznalost ispoljio je još kao mali, pa mu je porodica dala nadimak „Gospodin Zaštoˮ. Kao dete preležao je groznicu koja je ostavila srčane i mentalne posledice koje su ga pratile tokom celog života. Istakao se u srednjoj školi i na Univerzitetu u Beču kao natprosečan student, a doktorirao je 1929, sa 23 godine. Studije su mu promenile i profesionalni i privatni život.
Prvo ispoljavanje teških mentalnih bolesti je izazvalo ubistvo profesora Šlika 1933, za koga je Gedel bio vezan jer mu je probudio interesovanje za logiku. Doživevši nervni slom, neko vreme proveo je u mentalnoj instituciji na lečenju od depresije i paranoje.
Gedel je bio predavač na Univerzitetu u Beču do 1938. Predavanja su bila konfuzna, nerazumljiva čak i malom broju prisutnih studenata. Svoju neobičnost pokazao je oženivši se nekoliko godina starijom atraktivnom igračicom. Godine1939. bračni par je emigrirao u Ameriku. Gedel je smatrao da je prelazak preko Atlanskog okeana suviše opasan, pa ih je put do Prinstona vodio preko Sibira, brodom preko Pacifika do Kalifornije i vozom do Prinstona.
Univerzitet Prinston |
Gedel je dobio privremeno mesto profesora na novootvorenom univerzitetu za napredne studije, a od 1953 - stalno mesto profesora matematike. Tamo je upoznao Anštajna i sprijateljio se s njim. Anštajn, društven i veseo, bio je suprotnost usamljenom, pesimističnom Gedelu. Zbližile su ih nauka, filozofija, jezik i nepokolebljivo stremljenje ka suštini stvari. Anštajn je bio velika podrška komplikovanom Gedelu.
Gedel je došao do neobičnih rešenja Anštajnovih kosmoloških jednačina: ona su dozvoljavala putovanje kroz vreme, u prošlost. Anštajn ih je nevoljno prihvatio jer su odbacivala njegov klasičan pogled na svet.
Pri kraju života, njegova paranoja se pojačala. Izbegavao je svaki kontakt, neprekidno nosivši masku sa otvorima samo za oči. Jedna epizoda iz Gedelovog života opisuje njegovo paranoično ponašanje, ali i njegovu duboku preokupaciju matematikom. Mladi matematičar Pol Koen rešio je jedan od Gedelovih problema i želeo je da mu Gedel potvrdi rezultat. Kada je došao do njegove kuće, Gedel je otvorio vrata samo toliko da primi rukopis. Koen je, razočaran, otišao ne videvši ga. Međutim, posle dva dana, stigao mu je poziv na čaj kod Gedela. Koen je dobio potvrdu za svoj dokaz. Svoj rad je objavio 1962.godine i za njega je nagrađen Fildsovom medaljom.
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
