MATEMATIKA
Borka Marinković
Zabeleženo tokom “Maja - meseca matematike”
Manja lopta je okruglija
Ovogodišnju, jubilarnu 10. manifestaciju “Maj - mesec matematike” obogatila su vredna i zanimljiva predavanja matematičara iz sveta i Srbije. Prof. dr Marina Karina, sa Primorskog nacionalnog univerziteta Santa Fe, u Argentini, možda je otišla dalje od drugih predavača u približavanju matematike i njenoj primeni u svakodnevnom životu. To je ilustrovala u svom on-line predavanju „Uvek lopta na desetku i neka se desi još jedno čudoˮ.
Ovaj na prvi pogled neobičan naziv je višestruko simboličan: Maradona, najbolji argentinski centar, nosio je broj 10 na dresu,10 je najveći broj poena na ispitu. Fudbal u Argentini zauzima posebno mesto pa je izuzetno privlačna ideja matematički objasniti različite probleme na koje se može naići u fudbalu: od uobičajne statistike uvek prisutne u analizi sportskih događaja, preko fudbalske geometrije do određivanja najmanje cene ulaznica koja donosi isplativost organizatorima utakmica.
Izuzetno je zanimljiva i matematička procena kvaliteta fudbalske lopte. FIFA je postavila tri standarda kojima se utvrđuje kvalitet lopte: masa, skok i gubitak pritiska (upijanje vode) i analiza materijala od kog je napravljena lopta. Kada se utakmica igra po kiši, lopta upije izvesnu količinu vode. Mokra lopta manje odskače, što utiče na način upravljanja loptom. Ta količina ne sme da pređe 10% mase lopte. Posebnom cevi se vrši kontrola upijanja vode u tri koraka. Karina je to izračunavanje pokazala i primerom: suva lopta ima 437 gr, a posle testa 464 gr. Razlika između mokre i suve lopte iznosi 27 gr, što u odnosu na njenu osnovnu masu (437g) iznosi 6,2% , što je manje od maksimalno dozvoljenih 10%.
Sledeći pokazatelj kvaliteta lopte je nazvan „test srećeˮ, a odnosi se na merenje oblika lopte, tj. da li je ona potpuno okrugla? Do 2011. ovaj test obavljan je merenjem, a potom se prešlo na komjutersko testiranje.
U 500 merenja utvrđivan je prečnik lopte u 16 različitih tačaka, počev od teorijske vrednosti prečnika, preko najveće i najmanje izmerene vrednosti prečnika, do procenta odstupanja. FIFA toleriše vrednosti <=1,8% (1,5% za najviši rang utakmica). Odstupanja kod lopte manjeg prečnika su manja pa se kaže da je manja lopta „okruglijaˮ.
|
Gol u okviru kvadratne jednačine
U prvoj naučnoj šetnji, podsetilo se na M3 2012. pod sloganom: „Računam na matematikuˮ, kada je matematika prvi put izašla na ulice, trgove i parkove. Polazak je bio ispred CPN-a, u Ulici Kralja Petra. Prvi zadatak za posetioce je bio da vreme na satu nacrtanom na trotoaru pokažu rukama, ako su zadate vrednosti ugla pod kojim su kazaljke. Zatim su se nizale nove vrednosti i pokušaji da se pokaže tačno vreme.
Ispred Velike škole i Muzeja Vuka i Dositeja igrala se trigonometrijska školica. Šetnja je dalje vodila do zgrade Klasne lutrije, u Knjeginje Ljubice, gde su se posetioci dobacivali ogromnom loptom, modelom Zemlje, pri čemu se brojao položaj palca pri hvatanju lopte (na kopnu ili moru). Pomoću dobijenih vrednosti pokazan je odnos kopna i mora na našoj planeti. Obilaskom nove postavke Pedagoškog muzeja prisutni su se upoznali sa istorijom obrazovanja. Na drvenom platou u dvorištu, organizatori su nacrtali mapu kretanja do sledeće lokacije, a pravi put je zahtevano prepoznavanje racionalnih i iracionalnih brojeva. Poslednja lokacija su bile stepenice na Kosančićevom vencu, gde je na svakom stepeniku bio ispisan jedan broj, član niza. Trebalo je utvrditi pravilo i dopuniti nedostajuće brojeve. Na ovom mestu se pričalo o Fibonačijevom nizu (1,1,2,3,5,8,13...) i njegovom pojavljivanju u prirodi.
Magični kvadrat i simboli
Zanimljivo predavanje o magičnim kvadratima održao je Andras Navas Florens, sa Univerziteta iz Santjaga, u Čileu.
Jedan od prvih matematičkih objekata je magični kvadrat (brojevi u kvadratu su tako raspoređeni da je zbir po vrstama, kolonama i dijagonalama isti). O njegovom nastajanju postoje legende. Po jednoj, ovaj izum se pripisuje Fuh-Hju, mitskom osnivaču kineske civilizacije, koji je živeo u 28.veku pne. Pošto je otkriven u blizini reke Loh, nazavan je Loh-Šu. Magični kvadrat čine jing-jang simboli. Svi neparni brojevi, jang simboli, predstavljaju nebo. Svi parni brojevi, jing simboli, predstavljaju Zemlju. Po drugoj legendi, u vreme velike kiše u Kini, car je otišao na reku i nudio bogovima drveće. Pored reke je živela kornjača koja je tada počela da jede grane koje su ostavljale ubodne tragove na njenim leđima. Brojevi uboda su odgovarali brojevima na prvom osmišljenom magičnom kvadratu nazvanom Loh Šu (na kineskom: kornjača sa reke Loh).
4 |
9 |
2 |
15 |
3 |
5 |
7 |
15 |
8 |
1 |
6 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
Prvi sačuvani magični kvadrat 3x3 se sastoji od svih jednocifrenih brojeva. Osim osnovne osobine da je zbir po vrstama, kolonama i dijagonalama isti i iznosi15, ovaj kvadrat ima još jednu zanimljivu osobinu. Ako se od brojeva iz vrsta formiraju trocifreni brojevi, važi 4922+3572+8162=2942+7532+6182. Isto važi i za brojeve u kolonama, pa je 4382+9512+2762=8342+1592+6722.
Posebna varijanta magičnog kvadrata je formiranje novih magičnih kvadrata unutar datog pri čemu su zbirovi svih brojeva podkvadrata, dobijeni podelom osnovnog kvadrata horizontalnom i vertikalom srednjom linijom, takođe jednaki zbiru vrsta, kolona i dijagonala osnovnog. Prvi takav magični kvadrat 4x4, koga čine prvih 16 prirodnih brojeva, potiče iz Indije, u zapisu iz Džajne u srednjem veku.
7 |
12 |
1 |
14 |
34 |
2 |
13 |
8 |
11 |
34 |
16 |
3 |
10 |
5 |
34 |
9 |
6 |
15 |
4 |
34 |
34 |
34 |
34 |
34 |
34 |
Ovaj kvadrat poseduje i druge dodatne „magičneˮosobine: zbir brojeva na isprekidanim dijagonalama (pandijagonale) 2,12,15, 5, i na drugoj koju čine brojevi 16, 6, 1, 11 je takođe 34. Nove podkvadrate sa zbirom 34 čine brojevi 7,12, 2, 13, zatim 1, 14, 8, 11, kao i 16, 3, 9 ,6 i 10, 5, 15, 4. U ovom kvadratu ima još 13 načina kombinovanja brojeva čiji je zbir takođe 34.
Još jedan magični kvadrat 4x4 na sanskritu potiče iz Indije, iz grada Khajuraho, uklesan u hramu. Kvadrat je dobio naziv Čautisa, predmet koji ima neku vrstu harmonije. Ovde je reč o aritmetičkoj harmoniji brojeva.
Samouki indijski matematičar Ramanudžan, još kao dečak, napravio je magični kvadrat 4x4. Prvu vrstu čine brojevi koji predstavljaju datum njegovog rođenja (22.12.1887). Polja nisu popunjena uzastopnim brojevima, ali to ne umanjuje njegovu magiju.
22 |
12 |
18 |
87 |
139 |
88 |
17 |
9 |
25 |
139 |
10 |
24 |
89 |
16 |
139 |
19 |
86 |
23 |
11 |
139 |
139 |
139 |
139 |
139 |
139 |
Jedan od najlepših magičnih kvadrata je Ojlerov 8x8: ima 64 polja sa brojevima 1-64. Polja se mogu popunjavati po pravilu kretanja skakača na šahovskoj tabli. Tako popunjena polja imaju svojstva čarobnog kvadrata, što znači da je zbir po vrstama, kolonama i dijagonalama isti.
Matematičari su otkrili i pravila za formiranje magičnih kvadrata. Najjednostavnija je Lukasova normalna forma za 3x3 magični kvadrat.
s-m |
s+(m+n) |
s-n |
s+m-n |
s |
s-m+n |
s+n |
s-(m+n) |
s+m |
Zbir po vrstama, kolonama i dijagonalama je 3s. Problem je da se „magija ne pokvariˮ ponavljanjem istih brojeva. Složenija formula za 4x4 je delo indijskog matematičara Ramajana kojom se mogu formirati čak 36 konfiguracija koje daju isti zbir.
Tesni beskraj
Prof. dr Rade Živaljević svoje predavanje „Da li nam je tesno u 3 dimenzijeˮ počinje rečima Pasternaka: „Treba živeti tako da privlačite ljubav prostranstvaˮ. Matematičare vodi estetika, lepo je u istini. Osnovno pitanje na koje je predavač pokušao da odgovori je: da li beskrajni prostor koji nas okružuje može biti „tesanˮ? Da li sve probleme možemo rešiti u 3-dimenzionalnom prostoru?
Vrlo aktuelno je bilo i predavanje prof. dr Milana Božića pod nazivom „Kovid-19 između matematike i fejsbukaˮ. U kratkom istorijskom osvrtu o ulozi matematike u analizi i proučavanju pandemija, pomenuo je Volisa koji je u 17. veku napravio prvi matematički model. Pomoću funkcije y=ax - parametar širenja - može se izračunati koliko ljudi može potencijalno zaraziti jedna zaražena osoba. U statističkim podacima o smrtnosti, nije se uvek naglašavalo da li se radilo o apsolutnom broju smrtnih slučajeva ili o relativnom broju u odnosu na broj stanovnika. Kovid-19 je po smrtnosti zauzeo 3. mesto.
Tim sa Oksforda je napravio matematički model unazad, tj. šta se dešavalo pre zvaničnog prijavljivanja prvog slučaja bolesti? Po njemu, Kovid-19 se pojavio u oktobru 2019. Takođe, modelom se ispituju i sve pretpostavke sa kojima se povezuje Kovid-19, a pojavljuju se na društvenim mrežama. Modelom se ispituju i buduće moguće situacije u vezi pandemije.
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
