MATEMATIKA

Borka Marinković

21.vek

Nevidljivo je vidljivo

Velika   matematička  otkrića prati vreme u kome su nastala. U veoma dugoj istoriji matematike ne samo godine već i čitavi vekovi  mogu dobiti oreol matematički. Na primer: 7.vek p.n.e. (indijski matematičari), 6.vek p.n.e (Pitagora, Tales…), 3. vek p.n.e  (Euklid, Arhimed, Apolonije…), 9-11. vek (arapski matematičari, Fibonači), 17. vek (Njutn, Lajbnic,Dekart, Ferma, Paskal…), 18. vek (Gaus, Ojler, Lagranž, Laplas,Dalamber, Bernuli…), 19. vek (Kroneker, Kantor, Koši, Riman, Puankare, Kovaljevska…), 20. vek ( Petrović-Alas, Nojman, Tjuring, Hilbert, Anštajn, Gedel...), 21. vek ( Todorčević, Pereljman, Mirzahai, Terens, Von Burg…)

Početkom 21. veka ispravljena je velika nepravda prema matematičarima koji su uskraćeni za dobijanje Nobelove nagrade koja se ne dodeljuje za matematiku. Povodom 200. godišnjice rođenja najvećeg norveškog matematičara Nilsa Abela (40. na listi 100 najvećih matematičara u istoriji matematike), norveška vlada je osnovala 2002. godine fondaciju za dodelu nagrade i ona se od 2003.godine dodeljuje za izuzetan naučni doprinos na polju matematike. Komisija za dodelu se sastoji od pet osoba, koje delegiraju različite norveške istraživačke institucije. Nagradu svečano dodeljuje kralj Norveške. Ne postoji starosno ograničenje za dobitnika, čime se može reći da nagrada odgovara Nobelovoj nagradi. Osim Norvežana i norveških državljana, članovi Odbora za dodelu nagrade mogu biti i stranci, ako su ih na taj zavidni položaj predložili Međunarodna matematička zajednica i Evropsko matematičko društvo a odobrila i potvrdila Norveška akademija nauke. Prvi laureat je Žan-Pjer Ser. U obrazloženju se navodi njegova ključna uloga u oblikovanju modernih oblika mnogih oblasti matematike, uključujući topologiju, algebarsku geometriju i teoriju brojeva. I naredni dobitnici su doprineli razvoju mnogih matematičkih oblasti: teoriji brojeva, geometriji, teoriji verovatnoće, algebri, oblasti dinamičkih sistema i mnogih drugih, kao i povezivanju matematike i drugih nauka kao što je teorijska fizika.

Revolucija u shvatanju površina

Abelova nagrada za matematiku prvi put je 2019.  dodeljena ženi, Amerikanki Karen Uhlenbek, ekspertu za parcijalne diferencijalne jednačine. „Njen rad na području geometrijske analize i teorije merila radikalno menja „atmosferuˮ u matematiciˮ, rekao je predsednik odbora Abelove nagrade Hans Munte-Kas. „Njene teorije unele su revoluciju u dosadašnje shvatanje minimalnih površina, poput onih koje formiraju mehurići sapuna, kao i shvatanje opštih problema minimizacije u većim dimenzijamaˮ, pojasnio je. “Razvila je alate i metode globalne analize koji će od sada biti deo alata svakog geometra i analitičara ", ističe se u objašnjenju Norveške akademije nauka.
"Srećan sam, iznenađen, i pomalo se osećam krivim", rekao je francuski matematičar Iv Mejer povodom dobijanja Abelove nagrade 2020. U obrazloženju je navedeno da je Mejer nagrađen zbog svog doprinosa u teoriji talasića, matematičkoj teoriji sa primenama u kompresiji digitalnih podataka, radiologiji i uočavanju gravitacionih talasa.

Geografsko profilisanje

Matematika je primenljiva u svim sferama života, a njen savremen pristup rešavanju problema rezultira veoma preciznim i pouzdanim  rešenjima.
Realna situacija →  tehnički opis → matematički opis → matematički rezultat → povratak na realnu situaciju
Primer: Arhitekta će projektovati kuću svojim alatom, a matematički opis će precizirati potreban materijal, finansijsku kalkulaciju itd.
Drugi primer istinitog slučaja ilustruje primenu matematike za potrebe policije. Agent FBI je  pokušavao da istraži jedno ubistvo. Međutim, naišao je  na prepreke koje su ga zakočile. Njegov mlađi brat, matematičar, priskočio mu je u pomoć i  matematičkim putem rešio problem. Zahvaljujući bratu i njegovom rešenju, policajac je doktorirao na sociologiji i matematici, razvivši formulu za otkrivanje višestrukog ubice koja locira na karti moguće mesto gde živi ubica, te se sa DNK analizom potvrđuje sumnja u određenu osobu. Formula je poznata pod nazivom „Geografsko profilisanjeˮ.                         
Tehnika geografskog profilisanja se upotrebljava  za lociranje počinilaca kroz analizu lokacija koje su u različitim vremenskim periodima povezivane sa njima. Frekvencija pojavljivanja na pojedinim mjestima često ukazuje na oblast u kojoj osoba živi, što olakšava potragu za njom u određenom prostornom radijusu.

Rasuđivanje unapred i unazad

Umetnička upotreba geometrije omogućava da se nevidljivo učini vidljivim. Prostor u kome ljudi žive nije samo geografska lokacija već i prostor njihove društvene aktivnosti, kulturnog delovanja i sl. Može se reći da je istorija umetnosti i istorija različitih prostora. Prostori su otelotvorenje matematike vremena u kome  četvorodimenzionalna geometrija može da predstavlja model složenosti sveta u kome živimo. Tehnikom projektovanja kliznim projektorom, svaki slajd  se može ponoviti tako da se dobije mnogo prostora na istom mestu.Oni se mogu istovremeno prožimati, preplitati i preklapati, čime dobijamo ideju o složenosti sveta koje ne vidimo svojim očima - ali je on objektivan i stvaran, i vidimo ga našim umom.
Stručnjaci Gugla su otkrili kako se može napraviti geometrijski algoritam veza pojmova na Internetu koji  omogućava veoma brzo pronalaženje informacija. Matematičko razmišljanje obogaćeno je računarskim. Današnji matematičari razmišljaju i kao programeri koji koriste heuristiku, praktičan metod za postizanje kratkoročnog cilja ili njegovog priblžavanja. U matematici neke uobičajne heuristike uključuju upotrebu vizuelnih prikaza, dodatne prepostavke, rasuđivanje unapred/unazad i pojednostavljenje. Heurističke metode se mogu koristiti i za ubrzavanje pronalaženja zadovoljavajućeg rešenja, tamo gde je problem naći optimalno rešenje.

Bezbol i sajbermetrika

Veliki doprinos u razvoju  veštačke intiligencije, robotike, softverskog inžinjerstva, obradi prirodnog jezika i analize podataka kao i neuroinžinjeringa dao je Amerikanac Peter Norvig, direktor istraživanja u Guglu. Diplomirao je na primenjenoj matematici a doktorirao iz računarstva sa tezom:„Objedinjena teorija zaključivanja za razumevanje tekstaˮ.
Najkraće rečeno, neuroinžinjering je veoma složena disciplina u okviru biomedicinskog inžinjerstva; i bavi se poboljšanjem neuronskih sistema a oslanja se i na računsku neuronauku.

Primer  izbora igrača za  bejzbol tim

Ako se  izabere 100 karakteristika koje utiču na neki izbor i pri tome se odbaci najlošija i najbolja, procenat najboljeg izbora se dobija iz formule (10010 -9810 )/10010 ≈18,29%.  Slično, sa 200 osobina taj procenat je 98,24. Zaključuje se da,  ukoliko se izabere više potrebnih osobina za neki posao, dobiće se i bolji tim.
Za izbor igrača u jednom bejzbol timu angažovan je matematičar. Njegov zadatak je bio da pronađe dobitnu kombinaciju igrača u timu. Koristeći sajberstatistiku, na osnovu 10-15 potrebnih osobina, on je  izabrao  igrače koji su počeli da pobeđuju. Nijedan od njih nije bio izuzetan kao pojedinac, ali je njihova kombinacija bila najbolja moguća. Zaslužan za upotrebu sajberstatistike u bejzbolu je njegov tadašnji izvršni direktor Paul de Podesta.
Bez ulaženja u pravila bejzbola, može se reći da se sajbermetrika fokusira na procenu kako statistika pojedinačnih i kolektivnih igrača utiče na ishod bejzbol utakmice. Ona meri doprinose igrača u svakom delu igre. Takođe, vrši se i predviđanje učinka igrača u budućnosti. Sajbermetrička analiza ima funkciju da prouči i koncepte same igre, posebno onih koji nisu dovoljno ispitani, u cilju dobijanja bolje efikasnosti - npr. u kojoj meri odbrana doprinosi pobedi.
Može se iskoristiti relativno jednostavna primena matematike u identifikaciji skupa parametra da bi se  u odeđenoj populaciji najbolje iskoristili i uklopili ljudi u svet koji želimo. Siromašna zemlja može postati bogatija, ako izabere stanovnike sa odgovarajućim veštinama za svaki posao.
Šta se to važno desilo u matematičkom svetu u prve dve decenije ovog veka? Koji su značajni rezultati i  ko su njihovi tvorci?  

Dobitnici Fildsove medalje

Fildsova medalja je nagrada koja se dodeljuje svake četvrte godine matematičarima pre navršene 40. godine života. U jednom dodeljivanju može biti  najviše četiri laureata.  U ovom veku su sedamnestoro matematičara nosioci ove medalje. Jedan od njih je i Tao Terens, iz Australije.Taoova matematička znanja imaju izvanrednu kombinaciju širine i dubine: on može pouzdano i autoritativno pisati o raznolikim temama kao što su jednačine parcijalnih diferencijala, analitička teorija brojeva, geometrija 3-mnogostrukosti, nestandardna analiza, teorija grupa, teorija modela, kvantna mehanika, verovatnoća, ergodička teorija, kombinatorika, harmonijska analiza, obrada slike, funkcionalna analiza i mnogim drugim. Neka od njih su područja kojima je on dao temeljni doprinos. Druga su područja koja čini da on razume na dubokom intuitivnom nivou stručnjaka, iako zvanično ne radi u tim oblastima. Potpuna je misterija kako on to sve radi, kao i da je napisao mnogo  radova i knjiga. Rečeno je da je David Hilbert poslednja osoba koja je poznavala celu matematiku, ali nije lako pronaći praznine u Taovom znanju.
 Sa saradnikom Benom Grinom došao je do neverovatnih otkrića po pitanju prostih brojeva - da se mogu naći nizovi prostih brojeva bilo koje dužine u kojima je svaki broj na jednakoj udaljenosti. Na primer, niz 11, 17, 23, 29 ima 4 prosta broja od kojih je svaki tačno za 6 mesta udaljen od prethodnog.

Ruski matematičar Andrej Okounkov, francuski matematičar Vendelin Verner  i izraelski Elon Lindenštraus bave se ergodičkom teorijom i njenom primenom. Nastanak ove teorije povezuje se sa problemima statističke fizike, a njena primena je u teoriji brojeva, verovatnoći, diferencijalnoj geometriji. Samu teoriju je teško definisati jer koristi tehnike mnogih naučnih disciplina. Za ergodičan sistem se kaže da je onaj u kome je srednja vrednost u vremenu jednaka srednjoj vrednosti u prostoru.
Artur Avila, Brazilac, prvi je Latinoakamerikanac, dobitnik ove prestižne nagrade. Bavi se dinamičkim sistemima i spektralnom teorijom. Sa 26 godina, 2005. Avila je zajedno sa Svetlanom Jitomirskajom dokazao „pretpostavka deset martinijaˮ, problem koji je pre 25 godina,predložio matematički fizičar Bari Simon:„Da li je spektar partikularnog tipa operatora, pod određenim uslovima nametnutim njegovim parametrima Kantorov skup  ili nije?
Poslednja dodela je bila 2018. u Brazilu. Među dobinicima je Iranac Košer Birkar. Nakon samo pola sata od ceremonije dodele, primaocu je ukradena torba sa ličnim stvarima u kojoj se nalazila i medalja. Kasnije je pronađena torba, ali ne i medalja.
Birkarov izuzetan doprinos je u oblasti biracionalne geometrije. Biracionalna geometrija je polje algebarske geometrije koja proučava preslikavanja koja su data racionalnim funkcijama, a ne polinomima. Krug je biracionalni ekvivalent liniji. Algebarska geometrija je grana matematike koja kombinuje tehnike apstraktne algebre, posebno komutativne algebre, sa jezikom i problematikom geometrije. Ona danas zauzima važno mesto u matematici i povezana je sa teorijom brojeva, topologijom i kompleksnom analizom.
Najboljim naučnim otkrićem u 2009.godini smatra se dokaz za Lijevu lemu iz algebre za slučaj unitarnih grupa. Formulaciju dokaza dao je Ngo Bao Čao, matematičar iz Vijetnama, dobitnik Fildsove medalje 2010.
Sadrik Vilani, dobitnik Fildsove medalje 2010, veliki matematičar i njen popularizator, bio je gost manifestacije „Maj - mesec matematike 2013“ u Beogradu  na kojoj je i promovisao svoju knjigu: „Živa teoremaˮ.
Široj javnosti je poznat i ruski matematičar Grigorij Pereljman, pre svega zbog odbijanja nagrade od milion dolara svojom izjavom da mu nije potreban novac jer zna kako funkcioniše kosmos. On je dobitnik Fildsove medalje 2006.god.

Biblioteka proverenih znanja

Nedavno preminuli Vladimir Voevodski osnovao je potpuno nova polja matematike na kojima je radio istovremeno. Smatrao je da računare i ljude  treba nekako naučiti da razmišljaju na isti način. U svom radu, koristeći računare, ubrzao je matematičko razmišljanje, stvorivši  revolucionarne alate za računare koji potvrđuju tačnost dokaza. Krenuo je i u potragu za odgovorom na osnovno pitanje: kako matematičari znaju da je nešto što dokazuju zapravo istina?
Matematički argumenti su se toliko zakomplikovali da su ih matematičari retko detaljno proveravali. Voevodski je shvatio da ljudski mozak ne može da prati sve veću složenost matematike, i da su računari pravi i jedini alat. U tom cilju je započeo projekat stvaranja moćnog softvera za proveru dokaza koji bi matematičari mogli koristiti u uobičajnom radu. Tako bi se formirala biblioteka proverenih matematičkih znanja, kojoj  bi svako mogao pristupiti. Na projektu su decenijama radili kompjuterski eksperti. Međutim, mali broj matematičara je  tu platformu ikada i koristio. Voevodski je objasnio:„Među matematičarima je verifikacija računarskih dokaza bilo gotovo zabranjena temaˮ. Problem je bio glomaznost ovih sistema. Provera jedne teoreme mogla bi da zahteva deceniju rada, jer je  računar u osnovi morao da „poseduje sva znanja iz matematikeˮ na kojima je zasnovan dokaz.
Izuzetan je njegov doprinos na povezivanju topologije i algebarske geometrije tj. dovođenja tehnika topologije u algebarsku geometriju.
Deveta manifestacija „Maj mesec matematikeˮ, posvećena je i ženama u matematici. U ovom veku jedina žena  dobitnica je,nažalost prerano preminula, Marjam Mirzahai iz Irana. Njoj je posvećeno predavanje i prikazan dokumentarni film.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"